Waardoor zonk de Titan sub?

Het is alweer twee maanden geleden dat de Titan submersible van de radar verdween. Intussen weten we dat de gelamineerde koolstofromp is bezweken onder de druk van het water. Gepensioneerd Ir Werktuigbouwkunde Freek Hooning maakte een analyse van het ontwerp, grotendeels bestaande uit een sterkteberekening. Wat zijn volgens hem de oorzaken van het ongeval?

Door: Freek Hooning

Verscheidene mogelijke oorzaken van deze ramp zijn door diverse experts al onder de aandacht gebracht, zoals het minder geslaagde ontwerp van de CFRP romp, dat eventueel tot een implosie van het centrale deel van de romp zou kunnen leiden of de opvallend lage sterkte van de patrijspoort. Uit de reddings- en tevens bergingsoperatie, die werd uitgevoerd nadat het ongeluk had plaatsgevonden, is gebleken dat beide gebeurtenissen zich hadden voltrokken: de romp was geїmplodeerd en de patrijspoort was compleet verdwenen uit de halve titanium bol aan de voorzijde van de duikboot. De belangrijkste vraag is nu:

Wat gebeurde er eerst en is er een verband tussen beide gebeurtenissen?

Onderzoek, deel 1

Eerst is de betrouwbaarheid van de CFRP romp onderzocht. Voor een cilinder zijn de hoofdspanningen (zie [ref. 1]) de hoepelspanning (σ1) en de axiale spanning (σ2) met σ1 = pr/t en σ2 = pr/2t.

En zodoende: σ1 = 40 * 1.550 / 127 = 490 MPa en σ2 = 245 MPa. Vanzelfsprekend zijn beide spanningen drukspanningen. Uit  de ‘eenvoudige laminaat theorie’ [ref. 5] kunnen gemiddelde toelaatbare drukspanningen worden afgeleid: σ1 = 825 MPa en σ2 =800 MPa

In eerste instantie is er dus nog geen enkele reden om zich zorgen te maken over de veiligheid van dit ontwerp.

Onderzoek, deel 2

Vervolgens is de betrouwbaarheid van de uit PMMA vervaardigde patrijspoort onderzocht. Uit een uiterst informatief You Tube filmpje van CBS News kan worden opgemaakt dat de patrijspoort bolvormig is geconstrueerd:

Daarom is eerst bepaald of een acrylaat bol met een wanddikte van 7 inch überhaupt in staat is een druk van 400 bar te weerstaan. Uitgaande van een maximaal toelaatbare drukspanning van 120 MPa [ref. 3] en gebruik makend van de formule pr = σt / 2 (zie weer [ref. 1]) werd een waarde van r = σt / 2p = 120*178 / 80 = 267 mm voor de maximaal toelaatbare straal verkregen. Dit impliceert een maximale diameter voor de patrijspoort van 2*267 mm = 53,4 cm, terwijl de werkelijke diameter ca. 53 cm bedraagt. Het lijkt er dus op dat de patrijspoort een druk van 400 bar kan weerstaan, maar dan wel zonder enige reserve, terwijl het in een dergelijke kritieke situatie natuurlijk dringend gewenst is dat er een veiligheidsfactor (van bijvoorbeeld 3) in de berekening wordt meegenomen.

Hierna zijn de maximale schuifspanning (die optreedt bij de ondersteunde buitenrand van de patrijspoort) en de maximale binnenwaartse verplaatsing van het middelpunt van de patrijspoort onderzocht. Tot nu toe is er steeds vanuit gegaan dat de patrijspoort een convexe (bolle) vorm heeft, hetgeen gunstig is omdat de druksterkte van PMMA ongeveer 70 % hoger is dan de treksterkte. Het is derhalve van groot belang dat de patrijspoort onder de immense druk van 400 bar zijn convexe vorm behoudt en niet omslaat naar een concave (holle) vorm.

Teneinde deze berekeningen op een niet al te ingewikkelde manier te kunnen uitvoeren is gebruik gemaakt van majorering, waarbij de patrijspoort modelmatig wordt voorgesteld als een 20 mm brede balk met een doorbuiging van 0 graden in het midden. Het voordeel van een dergelijke aanpak is dat een aantal indicatieve resultaten (die een bovengrens stellen aan de berekende waarden) kunnen worden verkregen, hetgeen deze analyse vergemakkelijkt. Gebruikmakend van de bekende formule uit de balkentheorie: Δy = ql⁴/8 EI en uitgaande van: 

• q = 800 N / mm
• l = 265 mm
• E = 2,9 GPa
• I = (1 / 12) bh³ = 9.400.000 mm⁴

werd voor de binnenwaartse verplaatsing een waarde gevonden van ongeveer 18 mm. Een relatief eenvoudige goniometrische berekening laat zien dat de convexe vorm van de patrijspoort omslaat in een concave vorm, zodra de binnenwaartse verplaatsing van het middelpunt een waarde van ongeveer 25 mm overschrijdt. Omdat de berekende waarde van 18 mm een bovengrens stelt, is het duidelijk dat zelfs onder een druk van 400 bar de convexe vorm niet in gevaar komt.

D.m.v. de formule: V(x) = 212.000 – 800 x

Kan de maximale schuifspanning worden berekend:

 τ_max = 212.000 / 20*178 = 60 MPa

Het is zeer wel denkbaar dat de patrijspoort een dergelijke schuifspanning (althans voor korte tijd) kan weerstaan, maar ook hier is er geen enkele ruimte voor een veiligheidsfactor, hetgeen onder dergelijke kritieke omstandigheden toch ten zeerste moet worden aanbevolen.

Conclusies

1. Het lijdt geen twijfel dat de patrijspoort het zwakke punt is van dit ontwerp en er kan ook nauwelijks twijfel over bestaan dat de patrijspoort zal bezwijken nog voordat een eventuele implosie van de CFRP romp zal plaatsvinden. Echter, een CFRP laminaat is uitermate kwetsbaar voor blootstelling aan een hoogenergetische impact-belasting (stootbelasting), die zeker zal volgen zodra de patrijspoort is bezweken.
2. De slotconclusie luidt dan ook dat na enige tijd (niet noodzakelijkerwijs al bij de eerste duikvaart) de teloorgang van zowel de patrijspoort als de CFRP romp onontkoombaar is, waarbij het bezwijken van de patrijspoort onmiddellijk ook de implosie van de romp teweeg zal brengen.

Referenties

1. S. Timoshenko, Theory of Plates and Shells, Mc Graw-Hill Book Company, Inc., New York and London, 1940.
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Titan_submersible_implosion, achtergrondinformatie, met name over de mogelijke implosie.
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Poly(methyl_methacrylate), bevat informatie over de thermoplastische kunststof PMMA.
4. https://docplayer.nl/4164107-Vuistregels-ontwerpen-met-composieten, waarin o.a. de eenvoudige laminaat theorie wordt behandeld.
5. Schematische tekening van de Titan, zoals in de afbeelding is weergegeven.