Het eind van de kwantumtunnel

Kwantummechanische verschijnselen zoals radioactief verval, of algemener: ‘tunnelen’, vertonen intrigerende wiskundige patronen. Twee onderzoekers aan de Universiteit van Amsterdam hebben laten zien dat een veertig jaar oude wiskundige ontdekking gebruikt kan worden om deze structuur te beschrijven en te begrijpen.

Radioactief verval is een proces waarbij elementaire deeltjes dankzij kwantumeffecten kunnen ontsnappen aan de aantrekkende kracht die ze aan atoomkernen bindt. Dit verval komt maar heel sporadisch voor; een enkel uraniumatoom zou er bijvoorbeeld gemiddeld meer dan vier miljard jaar over doen om te vervallen. De collectieve naam voor zulke zeldzame kwantumgebeurtenissen is ‘tunnelen’: om te kunnen ontsnappen moet het deeltje als het ware een ‘tunnel graven’ door de energiebarrière die het aan de atoomkern bindt.

Wiskunde biedt redding

Ook wiskundig zijn deze effecten moeilijk te beschrijven. Desondanks hebben natuurkundigen in de eeuw dat de kwantummechanica nu bestaat allerlei manieren gevonden om met zulke effecten om te gaan, en om ze nauwkeurig te beschrijven en voorspellen. “Toch was er in dit honderd jaar oude probleem nog wel nuttig werk te verrichten”, zegt Alexander van Spaendonck, een van de auteurs van de nieuwe publicatie. “De verschillende beschrijvingen van tunnelverschijnselen in de kwantummechanica vroegen om unificatie – een raamwerk waarin al die verschijnselen aan de hand van een enkele wiskundige structuur beschreven en onderzocht kunnen worden.”

Verrassend genoeg werd die structuur gevonden in veertig jaar oude wiskunde. In de jaren tachtig had de Franse wiskundige Jean Écalle een raamwerk opgezet dat hij resurgence noemde, en dat het doel had om structuur geven aan dit soort verschijnselen.

Waarom duurde het veertig jaar voordat de combinatie van Écalles formalisme en de toepassing op kwantumverschijnselen tot een logisch eindpunt werd doorgetrokken? Marcel Vonk: “De oorsponkelijke artikelen van Écalle waren lang – samen meer dan duizend pagina’s – flink technisch, en werden alleen in het Frans gepubliceerd. Het duurde daardoor tot halverwege de jaren 2000 voordat voldoende natuurkundigen bekend waren met de gereedschappen van de resurgence. Oorspronkelijk werden Écalles ideeën vooral toegepast op eenvoudige ‘toy models’, maar natuurlijk werd ook geprobeerd om ze voor de echte kwantummechanica te gebruiken. Ons werk trekt die ontwikkelingen door tot hun logische conclusie.”

Prachtige structuur

Die conclusie is dat een van Écalles gereedschappen, de ‘transseries’, perfect geschikt is om tunnel-verschijnselen te beschrijven – in principe in elk kwantummechanisch probleem – en dat dat altijd op precies dezelfde manier kan. Door de wiskundige details uit te werken, ontdekten de auteurs dat het niet alleen mogelijk was om alle tunnel-verschijnselen in een enkel wiskundig object te verenigen, maar dat ze ook bepaalde ‘sprongen’ in de grootte van de rol van deze fenomenen konden beschrijven – een effect dat bekend staat als Stokes’ fenomeen.

Van Spaendonck: “Met onze beschrijving van Stokes’ fenomeen konden we laten zien dat bepaalde ambiguïteiten die de ‘klassieke’ rekenmethodes voor niet-perturbatieve effecten altijd hadden geteisterd – oneindig veel, zelfs – allemaal wegvielen in onze berekeningen. De onderliggende structuur bleek nog mooier dan we oorspronkelijk hadden verwacht. De transseries die de kwantumtunneling beschrijft, bleek zich op verrassende wijze te splitsen – of ‘factoriseren’ – in een ‘minimale’ transseries die de basisverschijnselen van tunnelen in elk kwantumprobleem beschrijft, en een object dat we de ‘median transseries’ genoemd hebben, dat de meer probleemspecifieke details beschrijft en bijvoorbeeld afhangt van de symmetrie van een kwantumsysteem.”

Nu deze wiskundige structuur volledig is opgehelderd, is de volgende vraag natuurlijk waar de nieuwe lessen kunnen worden toegepast, en wat natuurkundigen daarvan kunnen leren. In het geval van radioactiviteit zijn bepaalde atomen bijvoorbeeld stabiel terwijl andere kunnen vervallen. In andere natuurkundige modellen kunnen de lijsten van stabiele en instabiele deeltjes veranderen als de situatie een klein beetje verandert – een verschijnsel dat bekendstaat als wall-crossing. De onderzoekers willen nu graag met hun technieken ook dit begrip van wall-crossing verhelderen. Dat moeilijke vraagstuk is ook al door veel groepen onderzoekers op veel manieren bestudeerd, maar een soortgelijke onderliggende structuur lijkt nu binnen bereik.