Probleem van het verpakken van eindig aantal bollen: de ‘worstcatastrofe’

Hoe kun je het beste een eindig aantal identieke bollen stapelen in een vervormbare, flexibele container – zoals een convex omhulsel? Dit wiskundige probleem, waar al over wordt gepiekerd sinds de 17^e eeuw, is nu onderzocht met experimenten en computersimulaties.

De onderzoekers van de universiteiten in Twente en Utrecht hebben hun werk gepubliceerd in Nature Communications.

Het probleem lijkt op het eerste gezicht eenvoudig, maar kent een lange geschiedenis van studies. De Britse zeeman Raleigh onderzocht het bijvoorbeeld toen hij zocht naar een efficiënte methode om kanonskogels op zijn schip te stapelen. Later vermoedde Kepler dat de compactste verpakking voor een oneindig aantal bollen het kubisch vlakgecentreerde (FCC, face-centered cubic) kristalrooster was, een verpakking die vergelijkbaar is met de zeshoekige rangschikking van sinaasappels en appels in supermarkten. Opmerkelijk genoeg werd deze hypothese pas in de 21^e eeuw bewezen.

Bij een eindig aantal bollen wordt alles ingewikkelder; verrassend genoeg levert het verpakken van de ‘eindige’ bollen in een compact cluster niet altijd de compactste verpakking op. Wiskundigen vermoedden tientallen jaren geleden al dat een lineaire, worstvormige rangschikking de beste verpakking is, maar niet voor alle aantallen bollen. Er is sprake van een merkwaardig fenomeen: de worstvormige rangschikking is de meest efficiënte verpakking, tot 55 bollen. Boven dat aantal wordt een geclusterde rangschikking de beste verpakking. Deze abrupte overgang wordt ook wel de ‘worstcatastrofe’ genoemd. In een driedimensionale ruimte wordt met een lineaire verpakking van maximaal 55 bollen een ‘worst’ gevormd. Deze verpakking is compacter dan elke willekeurige andere clusterrangschikking. Dit scenario verandert echter aanzienlijk wanneer er vier dimensies worden gebruikt. Er zijn circa 300.000 bolletjes nodig om de ‘worst’ om te vormen tot een bolvormig cluster.

Onderzoeksleider Hanumantha Rao Vutukuri was benieuwd of het probleem in het laboratorium kon worden waargenomen en opgelost met behulp van een modelsysteem. Dit systeem omvat bolvormige deeltjes (colloïden) ter grootte van microns en gigantische unilamellaire blaasjes (GUV’s, giant unilamellar vesicles) die fungeren als flexibele containers. Deze zaken vormen samen de belangrijkste ingrediënten in het Active Soft Matter-laboratorium van de UT.

Vutukuri en zijn team onderzochten het probleem met echte 3D-experimenten, met colloïden in GUV’s. Door het aantal deeltjes en het volume van de blaasjes constant te veranderen, konden zij de verschillende rangschikkingen van de deeltjes in deze blaasjes onderzoeken met behulp van een confocale microscoop. Ze stelden stabiele rangschikkingen vast voor specifieke combinaties van het volume van de blaasjes en het aantal deeltjes: 1D (worst), 2D (bord, met deeltjes op één vlak) en 3D (cluster). Opvallend genoeg observeerden ze ook bistabiliteit; de indelingen wisselden af tussen 1D- en 2D-rangschikkingen of tussen 2D- en 3D-structuren. De onderzoekers moesten hun experimenten echter beperken tot het observeren van maximaal 9 deeltjes, aangezien de blaasjes steeds knapten bij het verpakken van grotere aantallen.

In Utrecht zocht men verder met behulp van simulaties. Wat opviel, was dat de simulaties voorspelden dat het verpakken van bolletjes in een worstvorm het meest efficiënt is tot 55 bolletjes. Toen de onderzoekers echter probeerden om 56 bolletjes in een blaasje te verpakken, was een compact driedimensionaal cluster het meest efficiënt. Merkwaardig genoeg veranderde de verpakking bij 57 bolletjes weer in een worstvorm. Wiskundigen hebben eerder vastgesteld dat een worstvorm het meest efficiënt is voor 58 en 64 bolletjes, maar dit onderzoek spreekt dat tegen en toont aan dat compacte clusters voor deze aantallen juist effectiever zijn. Hun bevindingen tonen aan dat de ‘worstcatastrofe’ niet alleen een theoretisch scenario is, maar ook experimenteel kan worden waargenomen.