De wiskunde van wachten

Het productieproces van grote hightechfabrikanten als ASML wordt gekenmerkt door een groot aantal leveranciers dat de onderdelen van het eindproduct aanlevert. Wanneer de leveranciers niet tijdig kunnen leveren, ontstaan er vertragingen in deze supplychains die grote financiële gevolgen kunnen hebben. TU/e-er Dennis Schol ontwikkelde wiskundige modellen, gebaseerd op de wachtrijtheorie, om deze complexe leveringsketens in kaart te brengen.

De onderdelen voor ASML worden door duizenden verschillende fabrikanten van over de hele wereld aangeleverd, die zelf weer hun eigen leveranciers hebben. Dat maakt deze grote supplychains enorm complex. Als een leverancier een component niet tijdig kan leveren, ontstaat er een vertraging in de supplychain. Aangezien ASML op jaarbasis een relatief klein aantal eindproducten van extreem hoge waarde produceert, kan een vertraging leiden tot een niet te overzien omzetverlies.

Dennis Schol, promovendus bij de faculteit Mathematics & Computer Science, ontwikkelde verschillende wiskundige modellen om deze supplychains in kaart te brengen en het gedrag van deze systemen te bestuderen. Daarbij beantwoordde hij vragen zoals: wat is de langst mogelijke wachttijd? En hoe groot is de kans dat een extreem lange wachttijd zich voordoet?

Wachtrijtheorie

De wachtrijtheorie is een tak van toegepaste wiskunde die wachtrijen bestudeert door middel van wiskundige modellen. Het systeem is in de basis altijd hetzelfde: het bestaat uit taken of klanten en servers waar de taken afgehandeld worden of de klanten worden geholpen. Als een taak afgehandeld moet worden terwijl de server al bezig is met een andere taak, ontstaat er een wachtrij.

Omdat je niet precies kunt weten hoeveel mensen er bijvoorbeeld op een bepaald tijdstip naar de supermarkt komen, speelt kansrekening in de wachtrijmodellen een belangrijke rol. Schol: “Op basis van de berekeningen kunnen we het gedrag van de wachtrijsystemen voorspellen en effectieve maatregelen tegen te lange wachttijden nemen.”

Je kunt op die manier allerlei praktische situaties modelleren. “Neem bijvoorbeeld de helpdesk van een callcenter. Je wilt niet dat de klanten lang in de wachtrij moeten wachten, maar je wilt ook niet dat de werknemers de helft van de tijd zitten te niksen. De vraag is dan: hoeveel werknemers heb je precies nodig voor een optimaal evenwicht? Eerst moet je de situatie beschrijven aan de hand van een wiskundig model. Als je weet wat er precies gebeurt, kun je vervolgens beslissingen nemen, zoals extra werknemers aannemen.”

Fork-join queue

Schol hield zich in zijn onderzoek bezig met een specifiek wachtrijmodel, de fork-join queue die werkt op basis van twee principes: verdelen en samenvoegen. In dit systeem worden de binnenkomende taken verdeeld in subtaken die tegelijkertijd door verschillende servers worden uitgevoerd en aan het einde van het proces weer worden samengevoegd. De snelheid van de traagste server bepaalt dus hoe snel de hele taak wordt uitgevoerd.

Ook bij ASML wordt de hoofdtaak namelijk uitgesplitst in veel kleine subtaken: het bedrijf verstuurt op hetzelfde moment heel veel orders naar verschillende leveranciers en pas als al deze orders zijn afgehandeld, kan het eindproduct worden samengesteld. Schol ging uit van het bestaande model en werkte een aantal casussen uit, geïnspireerd op deze supplychains. Op basis van een aantal aannames, zoals het aantal leveranciers of de gemiddelde wachttijd, heeft hij zo een aantal scenario’s uitgewerkt en uitgerekend wat de maximale wachttijd per situatie is.

Omdat de modellen gebaseerd zijn op aannames, zullen ze niet helemaal overeenkomen met praktijkscenario’s. Toch zijn ze wel degelijk bruikbaar, omdat ze de fabrikanten een idee geven hoe het systeem zich gedraagt. “Ze kunnen kijken welke casus het beste bij hun situatie past en zo krijgen ze goede benaderingen van wat de wachttijden zijn. Op basis daarvan kunnen ze vuistregels opstellen en betere afspraken maken”, zegt hij. “Ik heb ook geprobeerd om de modellen heel algemeen te maken om een zo breed mogelijke toepasbaarheid te garanderen.”

Heavy tail

In een deelonderzoek staat een andere toepassing centraal, namelijk die in datacenters. Een datacenter bestaat uit heel veel servers die berekeningen doen. Als er een taak binnenkomt, wordt deze opgesplitst in veel kleinere subtaken. Elke server voert een subtaak uit en alle berekeningen worden aan het einde weer samengevoegd. “Het is een heel andere situatie, maar dit systeem kan dus op eenzelfde manier gemodelleerd worden als de supplychains”, aldus Schol.

Er komt wel iets bij kijken wat de situatie anders en extra uitdagend maakt. Bij datacenters komt er namelijk weleens een taak binnen die een enorme workload geeft: een zogenaamde heavy tail. Zo wordt in wiskunde het fenomeen genoemd waarbij iets sterk naar boven afwijkt van het gemiddelde.

“Een gemiddelde Instagramgebruiker heeft bijvoorbeeld zo’n 150 volgers, maar er zijn ook mensen met miljoenen volgers. Dat is eigenlijk iets raars”, aldud Schol. “Zo heb je ook taken die enorm afwijken doordat ze heel veel tijd kosten. En dat vormt een probleem.” Wanneer er sprake is van een heavy tail, is het gedrag van het systeem anders. Schol rekende uit wat de langste wachttijd is in datacenters die te maken krijgen met zulke extreem belastende taken.

Eindeloos veel toepassingen

Schol vindt het belangrijk om te laten zien hoe nuttig de wachtrijsystemen kunnen zijn bij het oplossen van allerlei praktische problemen die zich voordoen in onze samenleving. Zelf heeft hij maar een klein toepassingsgebied onderzocht, maar het aantal mogelijke toepassingen is oneindig. En met de veranderende wereld komen er steeds meer toepassingsgebieden bij.

“Neem bijvoorbeeld de zelfscankassa’s. Het probleem daarmee is dat mensen stelen, dus je moet ze controleren. De controles moeten voldoende effectief zijn, zodat mensen ontmoedigd worden om te stelen, maar je wilt ook niet te veel controleren, want dan is het hele voordeel van de zelfscankassa’s weg.” Dit is een van de vele voorbeelden van praktijksituaties die je als een wachtrij kunt modelleren om tot de meest optimale oplossingen te komen.

“Wiskundige modellen zijn altijd een benadering van de realiteit, waardoor de oplossing soms gestileerd is, maar ze helpen ons om deze systemen beter te begrijpen, waardoor we ook weer betere modellen kunnen ontwikkelen”, benadrukt Schol. “Zoals statisticus George Boxooit zei (, red.): ‘All models are wrong, but some are useful.’”

Bron: Cursor.