29 apr. 2019
2 minuten
Als je een doos met Mikado-stokjes flink schudt, worden de stokjes dan enigszins gelijkmatig verdeeld? Dit raakt aan de klassieke paradox van Bertrand uit de wiskunde: dat is in het platte vlak al een lastig probleem, maar wat als je naar 3D gaat en ook nog eens precies wilt weten hoe groot de gaten tussen de stokjes – ‘koorden’ in de wiskunde – zijn? Dit wilden UT-onderzoekers weten om nano-mikadodoosjes te kunnen ontwerpen voor fotonica. Ze bedachten een rekenmethode voor het kiezen van de koorden en bliezen denkbeeldige bolletjes op om de maat van de gaten vast te stellen.
Het onderzoek is gepubliceerd in het journal Physical Review E.
Dat een bekende paradox uit de 19e eeuw weer opduikt bij het ontwerpen van innovatieve nanostructuren voor het manipuleren van licht is bijzonder. Die paradox, van Joseph Bertrand, gaat over ‘koorden’, de lijnen die je kunt trekken tussen 2 punten op een cirkel. Neem je een gelijkzijdige driehoek, teken je daar een cirkel omheen, hoe groot is dan de kans op koorden die langer zijn dan de zijden van de driehoek? Bertrand beschrijft 3 methoden die elk een ander antwoord geven. Hoe je de koorden kiest, blijkt uit te maken.
Het was Edwin Thompson Jaynes die bijna een eeuw later, een uitweg formuleerde uit de paradox. Hij stelt dat maar 1 van de 3 methoden in staat is om de cirkel te vullen met koorden die ongeveer homogeen is. Op die manier lijkt het midden van de cirkel niet doorzichtiger dan de randen. De onderzoekers breidden die constructiemethode uit naar 3 (en meer) dimensies. Ze kunnen daarmee allerlei ruimtelijke vormen opvullen met koorden die gelijkmatig verdeeld zijn.
Vertaling van cirkel naar bol; van 2D naar 3D.
Schuiven met groeiende bolletjes
Pepijn Pinkse en zijn collega’s wilden ook weten hoe je van de gaten tússen de koorden de maat neemt. En om het nog complexer te maken: in drie dimensies. Zij bedachten een manier om ontelbaar kleine bolletjes te plaatsen en langzaam op te blazen. De bolletjes worden steeds een stukje verplaatst om verder groeien mogelijk te maken, zonder dat ze gesneden worden door een koorde. Zodra ze niet meer verder kunnen groeien, is de grootte van gat ter plekke bepaald. Zo is precies na te gaan hoe de grootte van de gaten verdeeld is. Deze kennis helpt de onderzoekers om de optische eigenschappen te voorspellen van de nano-mikadodoosjes die ze willen. De resultaten zijn ook interessant voor andere situaties waar rechte lijnen door ruimtelijke objecten gaan, bijvoorbeeld de meting van stralingsdoses bij Röntgenstralen, die een volume gelijkmatig moeten doorkruisen. Hier is het belangrijk om de gemiddelde lengte die de stralen afleggen, te kennen.
Anderen lazen ook
