(Not) Safe for Designers?: IV – Trek, knik en zo meer: belastingsvormen vergeleken

Het woord ‘belastingsvormen’ mag buiten de constructieleer doorgaans niet op een goede ontvangst rekenen. Voor de constructeur heeft het gelukkig een meer neutrale betekenis: het beduidt dan simpelweg de vorm van de belasting op een onderdeel, d.w.z. de externe krachten en/of momenten, met een implicatie voor de vorm van het onderdeel zelf.

Door: Erik Tempelman, adviesbureau eriktempelman.com, universitair hoofddocent TU Delft – Industrieel Ontwerpen.

Zo krijgen we de trekstaaf met een trekkracht erop, de balk in buiging, de as in torsie, en de kolom onder druk dan wel knik. We kunnen ook nog afschuiven: dan staat de belasting dwars op ons onderdeel. Figuur 1 vat deze vijf belastingsvormen voor u samen^{1 U wilt er meer zien? Dat kan: er is ook nog tweeassige spanning (relevant voor drukvaten, vliegtuigrompen e.d.), thermische belasting. Combinaties, zoals buiging plus torsie, komen ook voor. Let wel – we spreken hier van statische belastingen; het gedrag van de belasting als functie van tijd (denkt u aan vermoeiing, kruip, impacts) blijft nog buiten beschouwing}. Het bepalen van de sterkte en stijfheid van deze onderdelen onder de bijbehorende belastingsvorm is iets dat elke constructeur al vroeg in de opleiding leert: eerst met simpele handberekeningen, later met meer uitgebreide FEM analyses. Deze bijdrage frist voor u het handwerk nog eens op. Om een vergelijking tussen de vijf vormen mogelijk te maken, kijken we steeds naar hetzelfde onderdeel, te weten een aluminium buisje van 50 cm lengte, met een holle, ronde doorsnede (diameter 22 mm, wanddikte 2 mm). We kiezen een legering met een vloeigrens van 175 MPa; qua stijfheid rekenen we met 70 GPa. Wat denkt u: onder welke belastingsvorm is dit buisje het zwakst, en wanneer het sterkst – en hoe groot zijn de verschillen? We gaan het zien.

Trek

Ons buisje heeft een dwarsdoorsnede A = 126 mm². Via de vergelijking σ = F/A is het een koud kunstje om de maximaal toelaatbare kracht F te vinden, aangezien we al weten dat de spanning σ maximaal 175 MPa mag zijn. We vinden F = 22.1 kN. Bij die trekkracht zal ons buisje ΔL = 1.25 mm langer worden, hetgeen we leren uit ΔL = FL/EA, met L  gelijk aan 0.5 m en E aan de eerder gegeven stijfheid. Dit zijn indrukwekkende prestaties – maar we vermelden er gelijk bij dat het lastig is om zo’n kracht zonder spanningsconcentraties in te leiden. Zou de kracht herhaaldelijk worden aangebracht dan moeten we rekening houden met spanningsconcentratiefactoren (“SCF’s”) van pakweg 2-5, plus de flink lagere vermoeiingssterkte. Mogelijk blijft er dan slechts één tiende over van wat de buis in een enkele statische test kan dragen. En dat is tegelijk het grootste probleem bij vrijwel alle op trek belaste onderdelen. De spaken van uw fiets bijvoorbeeld hebben hier ook mee te maken. De in wielerkringen bekende ‘double-butted’ spaken (zie Figuur 2) kunnen ons helpen, maar wel tegen meerprijs.

Druk en knik

Als we in plaats van een trekkracht een drukkracht uitoefenen, zal ons buisje in principe falen bij dezelfde belasting van 22.1 kN, en zal daarbij dezelfde lengteverandering ondergaan als eerst, alleen nu de andere kant op. Deze belastingsvorm van “pure druk” heeft tot voordeel dat vermoeiing aanmerkelijk minder problematisch zal zijn, maar er is een flinke kanttekening te maken: lange buisjes falen in de regel als kolommen, in knik (Engels: buckling ).

De hierbij behorende formule is al sinds de dagen van wiskundig superheld Leonard Euler (1707-1787) bekend: hij was namelijk degene die ons aan deze, inmiddels naar hem genoemde, knikformule hielp. Deze voorspelt de kritische knikbelasting als F_c = π² EI/(kL)² . Hierin is I het zogeheten oppervlaktetraagheidsmoment van de dwarsdoorsnede van de buis, in dit geval gelijk aan I = 3,64·10^–9 m⁴. De factor k beschrijft hoe de uiteinden van de buis zijn bevestigd; voor het geval waarin deze uiteinden scharnierend zijn opgelegd (en dus kunnen roteren), geldt k = 1 en komen we uit op F_c = 10.1 kN. Dat is 46% van de sterkte op pure druk, en ons buisje zal dan ook knikken als een kolom. Let op – de vervorming hierbij is catastrofaal: bij knik is er, althans voor een kolom^{2 Plaatmateriaal kan, mits goed verstijfd, “lokaal knikken” en als dit elastisch gebeurt, dan zal het materiaal weer terugknikken zodra de belasting wordt weggenomen. Een simpele kolom vertoont dit gedrag niet.}, geen sprake van een veilig faalgedrag! Zou u de einden perfect kunnen inklemmen, dan mag u rekenen met k = 0,5 en stijgt de Euler kniklast F_c naar ruim 40 kN. Echter, perfecte inklemming bestaat niet en in de praktijk zal k blijven steken op + 0,7. Los daarvan zijn kracht en kolom, anders dan Euler aannam, nooit perfect op te lijnen, waardoor u nog meer veiligheidsmarge moet inbouwen om schade te voorkomen. Wees gewaarschuwd…

Afschuiving

Figuur 1 gaf ook een voorbeeld van een belasting loodrecht op ons onderdeel. Dit genereert afschuiving. Daarbij moet de afstand L tussen de aangebrachte kracht en de reactiekracht (in rood in de figuur) klein zijn ten opzichte van de relevante afmeting van het onderdeel – in dit geval de diameter D van de buis – omdat we anders een mengvorm van afschuiving en buiging krijgen. Een goed voorbeeld is een zuigerpen: dit onderdeel bevindt zich tussen zuiger en zuigerstang, met L << D , en wordt op pure afschuiving belast (en dan herhaaldelijk, dus in vermoeiing). Figuur 3 toont ons dit voor de techniek zo belangrijke onderdeel:

Stel dat we onze aluminium buis als zuigerpen zouden gebruiken^{3 Geen goed idee, om meerdere redenen: dit voorbeeld beoogt slechts om de belastingsvormen te vergelijken.} – wat dan? Het Von Mises vloeicriterium voorspelt ons dat dit materiaal onder afschuiving zal gaan vloeien bij 58% van de vloeigrens voor trek. We komen daarmee op F = 12.6 kN en dat is (uiteraard) precies 58% van de eerder uitgerekende waarde voor trekbelasting. Het bepalen van de bijbehorende vervorming is nu niet bijster zinvol, voornamelijk omdat de betreffende lengte zo klein is.

Als u nou denkt dat afschuiving makkelijk is, kijk dan naar een voor de techniek tweede relevant voorbeeld van deze belastingsvorm: de lapnaad. Zoals Figuur 4 aangeeft, zal een simpele lapnaad onder externe belasting iets roteren. De beide krachten moeten immers op één lijn komen. Dit maakt dat de verbinding – b.v. een lijmsoort – naast afschuifspanningen ook “peel stresses” ondervindt. Het is precies hoe u een pleister verwijdert, en het maakt de verbinding zeer veel zwakker! Figuur 4 toont ook een doeltreffende wijze om deze ongewenste mengvorm van belastingen te vermijden. De moraal van het verhaal is dat afschuiving weliswaar simpel lijkt, maar het beslist niet altijd is.

Buiging

Deze belastingsvorm verdient feitelijk een eigen NSFD-hoofdstuk en zal dat ook krijgen. Voor nu dus alleen de samenvatting in de vorm van de uitkomst voor onze aluminium buis.

Buiging heeft diverse vormen; hier kiezen we voor de zogeheten driepuntsbuiging , waarbij de buis aan beide uiteinden, een afstand L = 0.5 m uit elkaar, is opgelegd en precies in het midden wordt belast. Gebruik van het juiste ‘vergeet-mij-nietje’ leert ons dan dat deze buis zal gaan vloeien bij een kracht van F = 463 N. Dat is maar 2% (!) van de kracht die we nodig hadden voor vloeien onder pure trek. Wie er nog een tweede formule tegenaan gooit, vindt dat de bijbehorende vervorming c.q. doorbuiging dan 4.7 mm is, en dat is (ondanks de veel lagere kracht) weer ruim meer dan wat we onder trek zagen gebeuren. Wie het niet gelooft wordt van harte uitgenodigd om zo’n buisje bij de doe-het-zelf zaak te kopen en het experimenteel aan de tand te voelen. Kapot trekken zal u zwaar afgaan, buigen niet.

Torsie

Nog één belastingsvorm te gaan: torsie. Net als alle voorgaande vormen komen we ook torsie vaak genoeg tegen in de techniek. Fietsframes bijvoorbeeld worden getordeerd onder de combinaties van arm- en beenkrachten van de berijder. De dragende constructies van auto’s ervaren ook torsie, maar dan onder de krachten die de wielophangingen erop uitoefenen. Overigens worden zowel voor fietsen als auto’s de torsiestijfheden vaak prominent aangewend voor marketingdoeleinden – iets dat we anders niet vaak tegenkomen. Interessant genoeg zien we torsie juist minder terug in natuurlijke constructies, en dat is zeker stof tot nadenken.

Aan torsie is nog niet zo makkelijk te rekenen. Alleen als ons onderdeel een rotatie-symmetrische doorsnede heeft, kunnen we er snel wat over zeggen^{4Vierkante of rechthoekige doorsnedes gaan ook nog wel: zie onder ’torsion constant’ op Wikipedia.}. Gelukkig beschikt ons aluminium buisje over dergelijke symmetrie. Figuur 5 toont ons dit buisje in ‘close up’. We zien dat het externe torsiekoppel T zorgt voor het optreden van schuifspanningen in het materiaal. Deze moeten onder de maximale schuifspanning blijven (die 58%, weet u nog?). Met behulp van het zogeheten polaire traagheidsmomenten een geschikt vergeet-mij-nietje komen we dan op T =66,3 Nm. De bijbehorende vervorming is nu een verdraaiing θ = 0.17 radialen, oftewel 10°. Om dit koppel te kunnen vergelijken met de eerder bepaalde krachten, hebben we een karakteristieke lengte nodig – bijvoorbeeld L. Daarmee vinden we dan tenslotte dat er een kracht van F = T/L = 132,5 N nodig is om bij torsie tot vloei te komen. Net als bij buiging is dat slechts een fractie van wat er voor pure trek of druk nodig was (132,5/22.100 = 6%).

Even recapituleren…

Ons voorbeeld-onderdeel is natuurlijk maar één van de vele mogelijkheden, maar de algemene tendens is desondanks duidelijk: trek en pure druk zijn de winnaars, gevolg door knik en afschuiving, met op ruime afstand daarachter buiging en torsie. Dit klinkende resultaat verklaart waarom die ‘ouderwetse’ vakwerkconstructies (we noemen ze liever spaceframes ) het zo goed doen, zeker ook per eenheid gewicht. Daarin zijn immers ook alleen trek en pure druk aan het werk. Mits het probleem van knik goed wordt voorkomen, is het toespitsen van het materiaal op deze twee belastingsvormen zelfs de beste manier om, gegeven een gewenste belastbaarheid en geometrische beperking, gewicht te sparen! In diverse spectaculair ogende 3D prints ziet u dit beginsel regelmatig terug, zeker als de vorm in kwestie het resultaat is van generatief ontwerp. Kortom: trek en druk prima, knik en afschuiving minder, buiging en torsie – niet doen.

Terloops kwam in het bovenstaande het concept van vermoeiing aan de orde. Om te voorkomen dat u met het onjuiste beeld deze pagina’s verlaat, dient nog gezegd dat dit uiteraard niet alleen bij trek aan de orde is. Bij afschuiving (denk aan de zuigerpen), buiging en torsie speelt het zeer zeker ook zijn rol. Hier is nog zeer veel meer over te zeggen^{5In NSFD – engineering essays on structures & materials (E. Tempelman, Delft Academic Press, 2020) wordt nader op vermoeiing ingegaan. Voor het complete verhaal wordt Fatigue of Structures and Materials (J. Schijve, Springer, 2009) van harte aanbevolen.}

Toegift: van buizen naar schalen

Aan buisjes is makkelijk met de hand te rekenen – aan schaalconstructies niet. Gelukkig is het tegenwoordig relatief makkelijk hier kleine testjes mee uit te voeren: al wat u nodig hebt is een laptop met wat CAD software, een 3D printer en een drukbank. Met deze wapens hebben twee ondernemende studenten aan de TU Delft onlangs enkele vergelijkende tests uitgevoerd, dit onder begeleiding van uw NSFD-correspondent. Figuur 6 toont de geteste schaaldelen: we zien in volgorde (a) een enkel-gekromd deel, (b) hetzelfde deel met een verstijvende rib in x-richting, (c) een dikker deel (schaaldikte 4,0 i.p.v. 1,6 mm), (d) een deel met flens rondom, en tenslotte een dubbel-gekromd deel op dezelfde 80 bij 80 mm “footprint”. De belasting was een neerwaartse kracht in z-richting; gemeten was steeds het kracht-weg diagram, dat middels linearisering de stijfheid van de delen als veerconstante (in N/mm) naar voren bracht.

De resultaten waren als volgt: (a) 4.8, (b) 5.8, (c) 71, (d) 45 en (e) 116, allen in N/mm. Merk op dat (4/1,6)³ = 15,6 en dat is min of meer gelijk aan 71/4,8 = 14,8. Weerstand gaat in dit geval dus met de derde macht van dikte. Maar de winnaar is dubbele kromming – en het moge duidelijk zijn waarom: opnieuw wordt buiging vermeden ten faveure van pure druk. Waarvan acte!